Didactical Background of a Mathematics Program for Primary Education

This is a summary from the other article in Mathematics  written by A.Teffers “Didactical Background of a Mathematics Program for Primary Education”

1. Introduction

This contribution outlines an instruction-theoretical framework of realistic mathematics education for primary school that was developed in The Nedherlands in the period between 1970 and 1990. At the outset a learning-instruction structure is described. Next it is illustrated how this structure is inter-twined in the various learning strands. Then the conclusion is how these strands of learning give concrete shape at lesson level.

2. Instruction – Theoretical Framework of Realistic Mathematics Education

The instruction-theoretical framework is outlined on the basis of column on the basis of column arithmetic for division. A realistic course for ‘long division’ is reached through some steps, from the simple problem until the complex problem. Students will solve the problems using their own ways that might be various from the simple method until they can learn to carry out the long division procedure. The five major learning and teaching principles that lie at the basis of such “realistic” courses will be described in the context of the previously mentioned learning strands for long division.

2.1  Construction and Concretising

The first learning principle in learning mathematics is constructive activity. This is clearly visible in the outline coursed where students can discover the division procedure for themselves because a concrete orientation basis is laid for the skill to be learned. Finally, they come to realize what the arithmetic operations are leading up to.

2.2  Levels and Models

The learning mathematics is a process which moves at various levels of abstraction. This level-characteristic can be seen from the solutions methods that students used. To be able to achieve the raising in level from informal to formal arithmetic the students must have at his disposal the tools to help bridge the gap between the concrete and the abstract.  Materials, visual models, model situations, schemes, diagrams and symbols serve this purpose.

2.3  Reflection and Special Assignments

The learning of mathematics and in particular the raising of the level of the learning process is promoted through reflection. In this third instruction principle the pupils must constantly have the opportunity and be stimulated at important junctions in the course, to reflect on learning strands that have already been encountered and to anticipate on what lies ahead. Important assignments through which one and other can be achieved are the previously mentioned free productions and the conflict problems.

2.4  Social Context and Interaction

Learning is not merely a solo activity but something that occurs in a society and is directed and stimulated by that socio-cultural context. Students can find solution for a problem through discussion among them. Consequence of this principle is that mathematics education should by nature be interactive, which besides room for individual work, it must also offer opportunity for the exchange of ideas, the rebuttal of arguments, and so forth.

2.5  Structuring and Interviewing

Learning Mathematics does not consist of absorbing a collection of unrelated knowledge and skill elements, but is the construction of knowledge and skills to a structured entity. This fifth principle means that learning strands must be intertwined with each other. Besides it, pure arithmetic and the making of applications must from the very start be connected with each other.

2.6  The Structure of the Learning-Instruction Principle

In the foregoing the learning principles and instruction principles that were connected are: the concept of learning  as construction with the lying of a concrete orientation basis; the level-character of learning seen on the long term with the previous of models, schemes, and symbols; the reflection aspect learning with the assigning of special tasks, with as main categories free production items and conflict problems; learning as a social activity through interactive instruction; and the structural of learning with the intertwining of learning strands.

3. Four Directions in Mathematics Education

Beside the realistic direction in mathematics education, there are three others that can be distinguished, namely: the empiristic, the mechanic and the structuralistic.

3.1  The Empiristic Approach to Long Division

The empiric approach to long division because, in general, it is one that is not thought. Instead, the short cut of informal arithmetic methods is pursued, in part via mental arithmetic. At this approach what stands out especially is the difference in regard to the use of the model in order to break away from informal to formal arithmetic.

3.2  The Mechanistic Approach to Long Division

In tens of lessons the diffusion algorithm is practiced from simple case to complex case. The degree of complexity is especially determined by the magnitude of the numbers (dividend and divisors); regrouping actions for multiplications and subtraction; and ‘bothersome’ zeroes. Divisions with remainders do not appear until near the end of the course.

3.3  The structuralistic approach to long division

In the structuralistic approach the emphasis in the teaching long division lies very much on the place value system. The problem with the structuralistic set up of the learning strand for long division is that the algorithm is taught primarily at the formal arithmetic level. The sucject-systematic final algorithm is not pursued in a direct manner, but developed gradually via context problems and context restricted arithmetic.

3.4  Direction in the 5 by 5 Learning-Instruction Structure

The structuralistic method does not fit into the learning-instruction structure well either. For instance, the construction principle can only be applied to a limited degree because a solid concrete orientation basis is lacking. Observe the contracting background of the realistic 5 x 5 education-learning structure have more relief as in the example of long division. Therefore, the build up of elementary skill can take a place via a process of reinvent, yet, must imperatively take place if the mathematical rules and structures are to be widely applicable.

3.5  Summary and Generalisation

The four mentioned directions in mathematics education can be disguised according to the presence or absence of the components of horizontal and vertical mathematisation like below:

Horizontal Vertical
Empiristic +
Structuralistic +
Realistic + +

Horizontal mathematising is the modeling of problem situations thus that these can be approached with mathematical means (it leads from the perceived world to the world of symbols). Vertical mathematising is directed at the perceived building and expansion of knowledge and skills within the subject system, the world of symbols.

4. Examples of realistic Learning Strands with an Emphasis on Vertical Mathematising

4.1  Counting

Counting is a realistic approach as a reaction to the structural concept. The expense of counting activities is to develop number concept by way of practising logical forms of reasoning. Elementary arithmetic is founded on counting movement, in short synchronous counting. When young children are asked to count how many number, they are not yet able to count resultatively. There is a third educational path to help them understand about counting. That is playing the game of counting and doing arithmetic by rolling the dice, dominoes, and a dot card on which tokens are placed in circle.

4.2  Automatiing and Memorizing of Addition and Subtraction up to Twenty

Working with dice or a dot charts has helped many children automatise and even memorize ever so many elementary additions, subtractions and ‘split-ups’ to twelve. Expansion and completion of that process of automatising and memorizing to twenty demands a new model situation. The models that can be chosen are: a string of beads with a five-structure for arithmetic to ten; and the arithmetic rack with five-structure for arithmetic to ten and especially twenty, a cardinal model.

4.3  Addition and Subtraction to a Hundred

In the realistic viewpoint addition and subtraction to a hundred is thereof not immediately algorithmised, but there is room for all sorts of varied strategies of efficient (mental) arithmetic. So, students can use their own ways in various strategies from informal level until formal level. Place value or empty number line can be used in this case. When students use corresponding subtraction or addition strategies, it can facilitate memorization.

4.4  Learning the Tables

In general there are two methods by which to learn tables: reproduction and reconstruction didactics. These methods are useful for reproduction of memorized knowledge, reconstruction knowledge via skilled arithmetic and connecting to informal working method. When student use table, they also can learn about sums, multiplication and division.

4.5  Mental Arithmetic

Mental arithmetic is considered as doing arithmetic mentally where standard procedure is carried out mentally and the calculation is made in the head. Various forms of mental arithmetic are distinguished, namely: estimating, varied and standard mental arithmetic.

4.6  Column Arithmetic

Characteristic for column is that the arithmetic is done with the individual digits, while with mental arithmetic the numbers that are operated with retain their own ‘value’.

4.7  Ratio

The most realistic feature of the realistic approach of ratio is that it does not steer directly to the so called rule of three in working out the fourth term (a : b = c : ? , maka ? = bc/a). If numbers are used in ratios then the double number line can help in solving of ratio problems, namely: determining the ratio relationship, comparing equivalent ratios, making equivalent ratios, and determining the fourth proportional.

4.8  Fractions

The double number line can also be used for operation with fractions. The comparison with fraction can take place by switching to a different unit of measure where one another can be depicted on the double number line.

5. An Example of Realistic Mathematics Education at Classroom Level with an Emphasis on Horizontal Mathematising

Students are given a problem and they work in groups. There is discussion among them and the teacher guide them by asking some questions that will lead them get better understanding about the problem.

6. Conclusion

One could relate the described series of lessons which horizontal mathematising or the vertical learning strands to the learning-instruction structure. One could also investigate how the number line fulfils the bridging function in these courses between the formal context-bound level and the formal level, or make a detailed analysis of the issues and indicate their function in the learning-instruction structure.


Realistic Mathematics Education in the Nedherlands 1980-1990

This is a summary from the article “Realistic Mathematics Education in the Nedherlands 1980-1990” written by A.Treffers

Realism in Textbooks 1980-1990

A revolution in mathematics education happened in The Nedherland in the period 1980-1990. Although it was a silent revolution where not a single innovation expert is heard speaking or writing about it, there is change in the distribution of textbooks for mathematics in primary school. In 1980 stands for mathematics textbook was 95 % and stands for realistic textbook was 5 %. In 1990 stands for mathematics textbook was 25 % and stands for realistic textbook was 75 %. This change influenced change of the whole didactical approach, for example, in which year or grade a material for student in elementary school will be taught, how operational was on the Dutch textbook market, etc.

Explanation for the Shift

Revolution on the textbook market on the eighties was influenced by the developments of the seventies. In that time, contrary to most other countries in the Western World, New Math did not get an opportunity to manifest itself in Dutch primary school. Then, the schools Inspectorate held back the introduction of New Math textbooks. Besides Inspectorate, there was Wiskobas which already there before the founding of the IOWO and before Freudenthal became involved with Wiscobas.

Generally, there are three factors related to development of the revolution on the textbook market, namely:

  1. The desired direction of mathematics instruction where Freudenthal show the way to exit New Math.
  2. Development which the Wiskobas group set into motion within the IOWO, which led to mathematics instruction of own signature that at the end of the seventies was named realistic instruction.
  3. The simple fact that the ideas, the reasoning and the products of Wiskobas proved to catch on.

In the Netherland the development of curriculum and textbook did not primarily go top-down, but sooner the other way around. The fact that this proved possible is due to the factors mentioned in the foregoing, namely:

  1. The timely stemming of the influences of New Math
  2. Being quick to offer a realistic alternative
  3. The catching on of the realistic education concept for math as a human activity, and the concrete elaborations thereof
  4. The consensus regarding the direction to be chosen within the close knit informal infrastructure in the area of mathematics instruction in primary schools

Realism with Textbooks

The foregoing about textbook does not say everything about realistic instruction. In the final assessment of the National Assessment Institute (CITO) no overall differences can be found between mechanics and realistic methods. The outcome of the study about material of the CITO shows that the method does indeed make a difference. Although comparison of the two leading textbook series shows that the realistic textbooks score significantly higher in various areas, no general conclusion may be drawn from a supposed higher quality of the realistic methods as opposed to the mechanistic method, judging from the achievements. What is clear, among other from observations from the More-project, that to achieve a broad innovation and a profound didactical change, more is required than changing textbooks. ‘More’ are for examples in the form of information, in-service training, courses and research.  Therefore, this brings to the formal educational provider system, a formal structure where the activities of curriculum development, test development, training, innovation and research are strictly separated. This is where the limits of innovation opportunities come into view.

Limits of Innovation

Government had created In-Service Training Spearhead Mathematics for children with arithmetic problems in regular mathematics education. However, before that become effective educational material must be developed. Something for the curriculum developers (SLO) might be expected and then in co-operation with others. In fact, the developers of SLO, CITO and other institutions succeeded in giving a first impulse for a sound in-service training program. Unfortunately, the government was not in favor of continuing the Spearhead policy and revoked the original facilities for course participants. This now is precisely the research that must supervise the new realistic program development, but this is not allowed because development research does contain a component of development and that must be done elsewhere according to the interpretation in the Educational Provider Act. In consequence, subject specific didactics cannot develop sufficiently.

The formal and the informal are more interwoven with each other in the education provider system than might appear from the foregoing. The solution lies to better the development of textbooks and the required information, in serving training, teacher training, counseling, developing and research.


Freudenthal is the founder of realistic mathematics education. He was the one to put Wiskobas on the right track: away from formalistic New Math, directed at reality. His ideas emphasize rich thematic contexts, integration of mathematics with other subjects and areas of reality, differentiation within individual learning process and the importance of working together. Besides the great role of Frudenthal, in the eighties, the OW&OC also emphasis shifted to the importance of elemtary context problems, to the alignment of learning strands and the steering task of teachers. From the shift in emphasis one can get am idea of the direction of developmental research that the OW&OC followed and that the Freudental Institute will pursue.

Soal-Soal Latihan Ulangan Semester Kelas IV SD




Pada observasi kali ini siswa akan diberikan soal-soal latihan ulangan semester sebagai evaluasi dari apa yang telah mereka pelajari selama satu semester ini dan untuk persiapan ujian semester pada tanggal 26 November 2010. Soal-soal yang akan diberikan meliputi seluruh materi yang diajarkan di semester gasal kelas IV.


Tujuan dari observasi ini adalah untuk melakukan evaluasi hasil belajar siswa selama semester I dan untuk memberikan soal-soal latihan sebagai persiapan untuk menghadapi ujian semester di sekolah.


Apakah soal-soal yang diberikan kepada siswa dapat dijadikan sebagai bahan evaluasi hasil belajar siswa selama semester genap di kelas IV SD Xaverius I Palembang?


Pada observasi ini siswa diberikan soal-soal latihan ulangan semester yang meliputi seluruh materi di kelas IV SD semester I, yaitu Operasi Hitung Bilangan, Kelipatan dan Faktor Bilangan, Pengukuran, serta Segitiga dan Jajaran Genjang. Soal-soal yang diberikan berbentuk esay singkat dan soal-soal uraian. Kelas dikondisikan seperti pada ujian semester yang sebenarnya. Berikut ini hasil pengerjaan siswa dari soal-soal yang diberikan.

Dari hasil yang diperoleh, rata-rata siswa dapat mengerjakan seluruh soal yang diberikan. Seluruh bentuk jawaban siswa telah dalam bentuk formal atau dalam bentuk angka-angka. Jadi jawaban yang diberikan siswa pun hampir seragam. Keunikan terjadi pada sebuah soal realistik yang sering sekali dialami siswa tapi sulit untuk bisa mereka selesaikan.

Soal no 5 yang berbunyi: ” Dalam kelas IV SD Suka Maju terdapat 39 siswa. Bila siswa kelas tersebut dibagi menjadi 8 kelompok untuk mengerjakan tugas kelompok. Berapa banyak siswa kirakira dalam satu kelompok?”

Soal ini menjadi kendala hampir separuh siswa. Ada yang berpendapat bahwa soal ini keliru dalam penulisan, ada yang beranggaan bahwa soal ini tidak dapat diselesaikan dengan angka yang bulat sehingga mereka mendapatkan pecahan desimal dalam pengerjaannya, dan ada pula yang mengambil hasil pembagian terkecil yang bisa dilakukan dan lebihnya tidak bisa dibagi ke dalam kelompok. Dari pengerjaan siswa, dapat disimpulka bahwa siswa hanya menggunkan satu cara untuk menyelesaikan soal tersebut, cara pembagian. Tidak ada siswa yang menjawab dengan cara sederhana seperti menggambarkan ataupun mengelompokkan data. Hal ini kami diskusikan bersama dengan guru kelas mengenai jawaban siswa tersebut. Kami berpendaat bahwasanya siswa sangat kurang mendapatkan soal-soal yang berbentuk soal cerita ataupun soal-soal yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari. Biasanya soal-soal yang diberikan merupakan soal-soal yang sama dengan yang ada di dalam buku cetak yang dipakai di kelas. Pada saat siswa menjawab soal yang diberikan, karena kondisi kelas diumpamakan sama dengan ujian semester, maka kami tidak dapat memberikan bantuan berupa pertanyaan yang membimbing siswa dalam menjawab soal-soal. Barulah di akhir pembelajaran, soal-soal yang dianggap sulit untuk diselesaikan bagi siswa, dibahas bersama.

Dalam mengerjakan soal di kelas, keadaan kelas sangatlah tenang dan serius. Siswa telah mampu bekerja sendiri tanpa tergantung pada temannya. Keadaan seperti ini sudah sangat jarang ditemui apalagi di sekolah dasar seperti ini. Selain diberi soal-soal latihan ulangan semester yang dikerjakan di kelas, siswa juga diberikan soal-soal latihan yang lain yang bisa dikerjakan oleh mereka di luar jam sekolah. Pemberian soal-soal ini dimaksudkan agar matangnya persiapan siswa menghadapi ujian semester, sebagaimana yang dihrapkan oleh guru kelasnya.


Pada observasi kali ini, sesuai kesepakatan dengan guru matematika di kelas IV, akan diadakannya ujian selayaknya ujian semester untuk memantau pemahaman siswa mengenai materi kelas IV semester I. Pelajarannya meliputi Operasi Hitung Bilangan, Kelipatan dan Faktor Bilangan, Pengukuran, serta Segitiga dan Jajaran Genjang. Kurangnya pembiasaan terhadap bentuk soal-soal relaistik dan cerita, membuat siswa menjadi terkendala dalam menyelesaikan permasalahan yang diberikan. Selain itu, dari hasil jawaban siswa, kami mendapat kesimpulan bahwa siswa telah mencapai tahap berfikir formal dalam mengerjakan soal-soal matematika dalam bentuk cerita dan rata-rata cara mereka memperoleh jawaban sudah benar, mekipun ada kalanya mereka salah perhitungan dalam mengerjakannya.

Pembelajaran Keliling dan Luas Segitiga di Kelas IV SD dengan Pendekatan PMRI




Segitiga merupakan salah satu bentuk bangun datar yang dijarakan di kelas III dan IV SD. Di kelas III SD siswa telah mengenal jenis-jenis bangun datar dan sifat-sifatnya. Untuk segitiga, siswa juga telah mengetahui jenis-jenis segitiga. Di kelas IV siswa akan belajar tentang bagaimana menentukan keliling dan luas segitiga. Pada observasi ini, untuk menentukan keliling dan luas segitiga akan digunakan media berupa tali rafia yang penggunaannya berdasarkan prinsip “tali mesir” (sebuah metode yang dapat digunakan untuk menentukan keliling dan luas bangun datar).


Tujuan dari observasi ini adalah untuk membantu siswa dalam memahami konsep keliling dan luas segitiga melalui penggunaan tali rafia yang menggunakan prinsip dasar “tali mesir” serta pemberian soal-soal terkait aplikasi keliling dan luas segitiga.


Apakah media yang digunakan pada observasi ini serta soal-soal yang diberikan bisa membantu siswa dalam memahami konsep keliling dan luas segitiga?


Pada pembelajaran tentang keliling dan luas segitiga, guru kelas bekerja sama dengan observer. Di awal pembelajaran guru kelas memberikan penjelasan bagaimana menghitung keliling dan luas segitiga. Untuk menentukan keliling segitiga siswa dengan cepat memahaminya karena dari pelajaran penentuan keliling bangun ruang yang lain yang telah mereka pelajari (seperti persegi dan persegi panjang), siswa telah mengerti bahwa keliling diperoleh dengan menjumlahkan seluruh sisi. Untuk menghitung luas segitiga, guru kelas mengaitkannya dengan luas persegi dan persegi panjang. Luas segitiga dapat diperoleh dengan menghitung luas persegi atau persegi panjang dibagi dua. Untuk hal ini siswa juga lebih mudah memahaminya.

Pembelajaran dikelas dilanjutkan oleh observer. Pada kesempatan ini, observer menggunakan tali rafia sebagai media untuk memberikan pemahaman kepada siswa dalam menentukan keliling dan luas segitiga yang diawali dengan mengetahui satuan unit pada sisi-sisi segitiga. Tali rafia yang telah dipotong sepanjang 1 meter dibagikan kepada masing-masing kelompok. Dengan tali rafia tersebut setiap kelompok diperintahkan untuk membuat 12  sisi yang sama panjang dengan pembatasnya berupa simpul-simpul.

Semua siswa bisa membuat simpul sebagaimana yang dicontohkan akan tetapi sebagian besar mereka tampak kesulitan dalam membaginya menjadi 12 bagian. Ada kelompok yang telah berfikir bahwa 12 bagian dapat diperoleh dengan melipat tali rafia yang ada menjadi 12 bagian. Tapi kelompok ini juga masih ragu apakah yang dilakukannya benar. Adapun kebanyakan kelompok yang lain, mereka membuat simpul dari sisi ujung tanpa melakukan pembagian agar sisinya sama panjang. Sehingga hasilnya adalah ada yang bisa membentuk beberapa simpul tapi belum mencapai 12 sisi tali rafia sudah habis. Kelompok yang lain ada yang telah membentuk 12 sisi dan sisi yang terakhir masih tersisa cukup panjang dan berbeda dengan sisi yang lain.

Untuk membantu siswa menyelesaikan permasalahan yang mereka hadapi, observer memberikan contoh di papan tulis dengan menggambarkan sebuah garis. Garis tersebut berfungsi seolah-olah seperti tali rafia. Siswa diarahkan tentang bagaimana agar sebuah garis tersebut dapat dibentuk menjadi 12 bagian. Mula-mula siswa diminta untuk menentukan bagaimana agar sebuah garis menjadi 2 bagian, kemudian menjadi 4 bagian, kemudian 6 bagian dan selanjutnya 12 bagian. Dari pengarahan ini siswa mulai mengerti bahwa untuk membuat 12 sisi yang sama panjang dibutuhkan 12 simpul dan untuk mendapatkan bagian yang sama diawali dengan melakukan proses pembagian tali rafia tersebut. Akhirnya dengan bimbingan dari guru kelas dan pengobservasi sebagian besar kelompok bisa menyelesaikan pembentukan tali rafia menjadi 12 bagian.

Dari tali rafia yang telah dibentuk menjadi 12 bagian, siswa diperintahkan untuk membentuk segitiga yang sisi-sisinya terserah mereka. Berikut ini gambar yang menunjukkan hasil kerja siswa. Selanjutnya mereka diperintahkan untuk menghitung keliling dan luas segitiga yang telah mereka bentuk. Dalam hal ini mereka tidak mengalami kesulitan. Masing-masing kelompok bisa membentuk berbagai variasi segitiga, seperti segitiga siku-siku, sama kaki,dan segitiga sembarang dengan berbagai variasi sisinya pula. Berikut ini gambar hasil pengerjaan siswa dari segitiga-segitiga yang bisa mereka bentuk serta langkah perhitungan keliling dan luas segitiga tersebut.

Menjelang akhir pembelajaran,siswa diberikan soal-soal kontekstual terkait penggunaan segitiga. Banyak kelompok yang masih kesulitan memahami soal cerita yang ada. Dari hasil diskusi dengan guru kelas, mereka memang kurang terbiasa menyelesaikan soal-soal kontekstual. Sehingga mereka membutuhkan penjelasan apa yang dimaksud dari soalnya. Ketika mereka mengerti maksud soalnya, dengan cepat mereka dapat melakukan perhitungannya. Berikut ini beberapa gambar dari soal dan jawaban siswa.

Dalam menjawab soal pertama, jawaban siswa kurang beragam, hanya terletak pada langkah pengerjaan mengitung luas segitiga. Seluruh kelompok dapat menjawab dengan benar soal no 1. Untuk soal no 2, hanya ada beberapa kelomok yang mendapat jawaban yang benar. Ketika ditanyakan mengapa mereka tidak dapat menyelesaikan soal, mereka berkata bahwa mereka tidak bisa memahami maksud soal, dalam hal ini soal yang diberikan adalah soal cerita yang ada kaitannya dengan menghitung keliling persegi panjang. Sebagian siswa ada yang lupa bagaimana cara menghitung keliling persegi panjang. Untuk penyelesaian permasalah no 3, hanya sebgian kecil kelompok yang menjawab kurang tepat, hal ini disebabkan mereka lupa membagi dua hasil yang diperoleh sesuai dengan aturan luas segitiga. Namun, rata-rata siswa telah mampu menyelesaikan seluruh soal dengan baik.

Setelah selesai mengerjakan soal-soal dalam kelompoknya, perwakilan dari beberapa kelompok menuliskan di papan tulis jawaban mereka dan mencoba menjelaskan hasil yang mereka dapatkan kepada temannya yang lain. Dalam hal ini, siswa butuh dimotivasi karena mereka masih agak malu-malu dan bingung bagaimana menjelaskannya. Walaupun begitu, siswa-siswa yang lain dalam kelas terlihat menghargai dan tidak membuat keributan. Berikut ini gambar seorang siswa yang sedang menjelaskan jawabannya di depan kelas.


Untuk menghitung keliling dan luas segitiga, dari rumus yang ada siswa di kelas IV SD Xaverius I Palembang dapat memahaminya dengan cepat. Jika mereka diberikan soal-soal yang sisi-nya diketahui dengan jelas, mereka dapat melakukan perhitungan dengan cepat. Akan tetapi ketika mereka diberikan soal-soal kontekstual, banyak dari mereka yang masih kesulitan dalam memahami maksud soal, hal ini salah satunya karena mereka belum terbiasa dengan tipe soal tersebut. Terkait penggunaan tali rafia yang menggunakan prinsip dasar “tali mesir”, dari hasil observasi, media ini bisa membantu siswa dalam memahami satuan unit dari sisi-sisi pada segitiga dan menentukan keliling serta luasnya.

Pembelajaran Satuan Berat di Kelas IV SD dengan Pendekatan PMRI




Materi pelajaran satuan berat di kelas IV SD merupakan rangkaian materi dari materi-materi pengukuran seperti satuan panjang, satuan waktu, dan lain lain. Dalam kehidupan sehari-hari siswa telah mengenal penggunaan satuan berat seperti ketika mereka melakukan pemeriksaan kesehatan di sekolah atau di tempat-tempat pemeriksaan kesehatan yang lain. Pada saat pemeriksaan kesehatan tersebut, salah satu hal yang dilakukan adalah pengukuran berat badan. Mereka juga telah familiar dengan penggunaan satuan berat untuk menentukan berat suatu benda atau bahan-bahan kebutuhan sehari-hari ketika mereka berbelanja di toko, misalnya berat buah dll. Untuk meningkatkan pemahaman siswa terkait satuan berat, pada observasi kelas yang diadakan pada kesempatan kali ini, siswa akan dikenalkan kembali tentang alat-alat yang bisa digunakan untuk mengukur berat. Selain itu mereka juga akan diberikan soal-soal kontekstual terkait penggunaan satuan berat dengan sebelumnya mereka akan diajarkan tentang konversi satuan berat. Pada observasi kali ini siswa tidak langsung dikenalkan dengan unit pengukuran untuk satuan berat, tetapi diawali dengan penanaman pemahaman tentang perbandingan berat dua buah benda, apakah beratnya sama, lebih berat atau lebih ringan.


Tujuan dari observasi ini adalah untuk mengetahui pemahaman siswa terkait satuan berat dengan menggunakan alat ukur satuan berat dan pemberian soal-soal kontekstual.


Apakah alat ukur berat yang digunakan dan soal-soal yang diberikan dapat membantu pemahaman siswa terkait satuan berat?


Pada observasi kali ini Septi dan Yeni selaku observer bekerja sama dengan Bapak Wasis, guru kelas IVB SD Xaverius I Palembang. Dalam belajar mengajar tentang satuan berat. Pak Wasis menggunakan timbangan berat badan untuk memperkenalkan alat ukur berat kepada siswa. Setiap siswa maju kedepan kelas untuk diukur berat badannya. Mereka melihat sendiri jarum yang ditunjukkan pada timbangan dengan dibantu pak Wasis untuk memastikan berapakah berat badan mereka. Pada timbangan berat badan yang digunakan, satuan berat yang digunakan adalah kg. Setiap kali siswa selesai mengetahui berat badannya, Pak Wasis menanyakan kepada mereka berapakah berat badan mereka jika satuannya dikonversikan dalam satuan pond dan ons. Seluruh siswa bisa menentukan berat badannya dalam pond dan ons. Perbedaan yang ada hanya pada kecepatan mereka dalam menentukan hasil konversinya. Terkait konversi satuan dari kg ke pon atau ons dan sebaliknya, sebelum pembelajaran ini siswa telah mempelajarinya di kelas. Mereka juga telah belajar perubahan satuan kg ke kwintal dan ton.

Berikut ini beberapa gambar ketika siswa sedang menimbang berat badan mereka di depan kelas:

Setelah seluruh siswa menyelesaikan penimbangan berat badan mereka, pembelajaran di kelas dilanjutkan oleh pengobservasi. Siswa diminta untuk menentukan perbandingan dua buah alat tulis yang mereka miliki, seperti kotak pensil dan buku, buku besar dan kecil, pulpen dan buku, dll. Dari perbandingan ini, mereka bisa memperkirakan mana yang lebih berat, lebih ringan atau beratnya sama. Mereka juga diminta untuk memperkirakan berat dua orang siswa yang telah diminta untuk maju ke depan kelas. Sebagian siswa sebenarnya masih ingat berapa berat badan dua orang yang maju di depan kelas, tetapi dijelaskan kepada mereka bagaimana mereka bisa memperkirakan mana yang lebih berat, lebih ringan atau sama jika mereka belum melakukan penimbangan berat badan sebelumnya. Mereka memperkirakannya dari postur tubuh mereka mana yang lebih gemuk atau kurus. Ketika dipanggil dua orang siswa yang beratnya relative sama, hanya selisih 1 kg, siswa menyampaikan agak kesulitan menentukannya jika tanpa ditimbang. Mereka memperkirakan berat badan mereka sama, tetapi ternyata ada perbedaan. Dari sini, mereka bisa memahami tentang fungsi alat ukur berat yaitu dapat mengetahui secara pasti berapakah berat sesuatu. Berikut ini beberapa gambar ketika siswa diminta untuk memperkirakan berat dua buah alat tulis dan berat dua siswa yang ditunjuk untuk maju ke depan kelas.

Selain menggunakan alat ukur berat berupa timbangan berat badan, siswa juga diperkenalkan tentang alat ukur berat yang lain. Sebelum diperlihatkan melalui gambar macam-macam alat ukur berat, mereka diminta untuk menyebutkan alat ukur berat yang mereka ketahui dan bisanya digunakan untuk mengukur berat apa. Beberapa jawaban siswa adalah, neraca, timbangan bebek, timbangan yang ada di pasar-pasar atau took-toko, timbangan untuk tepung, dll.

Pembelajaran di kelas dilanjutkan penjelasan dari Pak Wasis mengenai konversi satuan dari kg hingga mg. Siswa kemudian diberikan soal-soal kontekstual yang telah disediakan oleh pengobservasi. Berikut ini contoh soal yang diberikan kepada siswa dan hasil jawaban mereka.

Soal yang diberikan adalah berbahasa inggris. Alasan penggunaan soal yang berbahasa Inggris adalah dari permintaan pak Wasis yang ingin melihat bagaimana kecakapan siswa dalam menjawab soal dan membuat inovasi sehingga soal matematika yang diberikan lebih beragam. Pada saat konsultasi dengan pak Wasis, beliau meyakini bahwa siswa-siswa mampu dalam memahami dan mengerjakan soal dalam bentuk bahasa Inggris tapi dalam level bahasa yang sederhana. Saat pelaksaan materi pembelajaran dan pemberian soal, karena ada siswa yang belum begitu lancar pemahaman bahasa Inggrisnya, siswa yang lainnya yang mengerti menerjemahkan maksud soalnya. Soal yang diberikan adalah soal dengan tingkat kesulitan yang beragam. Pada soal no 1 dan no 2 merupakan dua buah soal yang membutuhkan penjumlahan dalam menyelesaikannya. Hal ini tentulah tidak jadi masalah bagi siswa, tapi kami tetap menampilkan soal demikian atas permintaan pak Wasis dan ingin melihat apakah ada kesulitan yang akan dihadapi siswa bila diberikan soal dengan bahasa Inggris dan apakah kecepatan siswa dalam menjawab soal menjadi berkurang. Ternyata dari hasil observasi yang telah kami lakukan, untuk dua soal di awal tersebut, tidak menjadi kendala bagi para siswa. Dari hasil jawaban siswa, ada soal tertentu yang menurut sebagian besar siswa hal itu sulit, contoh soal no 3, no 4 dan no 5. Soal-soal tersebut cukup membuat siswa bingung karena kurang memahami maksud soal. Kemudian soal tersebut dibahas dikelas, dan siswa yang bisa mengerjakannya mencoba menjelaskan kepada teman-temannya yang lain. Akhirnya setelah dijelaskan kebanyakan siswa bisa mengerti. Hanya beberapa siswa yang perlu diajarkan per individu apa yang dimaksud dalam soal. Berikut ini gambar siswa sedang menerangkan jawabannya kepada teman-temannya yang lain di depan kelas.

Dari hasil pekerjaan siswa, dapat dilihat adanya beberapa cara yang digunakan siswa dalam menyelesaikan soal. Misalnya saja soal yang memiliki satuan berat berbeda, siswa cenderung menyelesaikan soal dengan mengkonversi berat sebuah benda ke yang lebih kecil. Selain atrategi jawaban siswa yang beragam untuk tiga nomor terakhir, hal baru yang kami temukan adalah bahwa siswa telah berani bertindak jujur. Karena soal yang dianggap sulit dibahas oleh beberapa orang siswa ke depan, siswa yang lain mengecek pekerjaan mereka dan memperbaikinya dengan memberi tanda salah. Jadi mereka berani mengatakan bahwa apa yang mereka kerjakan salah dan memiliki alasan mengapa kesalahan itu terjadi. Beberapa siswa yang mengalami kendala dalam menyelesaikan soal mengatakan bahwa yang menulitkan bagi mereka adalah sering salah perhitungan, salah konversi ke satuan yang diminta. Sedangkan tentang alasan bahasa, kebayakan siswa berpendapat bahwa bahasa tidak menjadi masalah untuk mereka.

Pada observasi ini, karena waktu pelajaran matematika masih tersedia, siswa diberikan soal tambahan yang dikemas dalam bentuk pertanyaan cepat tepat. Siswa yang bisa menjawab pertanyaan awal yang diberikan oleh observer, dia akan memberikan pertanyaan kepada siswa yang lain, dan siswa yang bisa menjawab dengan benar akan memberikan pertanyaan kepada temannya yang lain lagi. Permainan ini bertujuan untuk mengasah kemampuan mencongak siswa dan secara tidak langsung mengajak siswa untuk berfikir kreatif dan inovatif dalam membuat soal yang akan diberikan pada temannya. Dari aktivitas ini, siswa tampak semangat dan mereka berusaha untuk menjawab setiap pertanyaan dari temannya yang lain dengan cepat dan tepat. Melalui cara ini, siswa juga berpikir bagaimana membuat soal untuk temannya yang lain.

Pada akhir pembelajaran, masing-masing siswa diberikan tugas untuk membuat sebuah soal terkait materi yang dipelajari pada hari itu. Soal tersebut ditulis pada selembar kertas yang mana pembuatnya harus tahu jawabannya. Kemudian soal ditukarkan dengan siswa yang lain yang akan menjawabnya. Ada sebuah soal yang sangat menarik hasil pekerjaan siswa yang muncul seperti pada gambar berikut.

Soal yang dibuat oleh Maureen ini merupakan sebuah soal cerita yang bisa dijumpai dalam kehidupan sehari-hari dan memiliki beberapa satuan berat yang berbeda. Ketika ditanya bagaimana dia bisa mendapat ide untuk membuat soal semacam ini, ia berkata bahwa ia ingin membuat soal yang banayk ragamnya dari apa yang telah dipelajari. Soal ini kemudian dibacakan di depan kelas sebagai contoh pada siswa lainnya dan dibahas bersama. Dari aktivitas ini, selain meningkatkan pemahaman siswa terkait satuan berat, mereka juga bisa berlatih menurut kreativitas mereka untuk variasi soal yang baik beserta jawabannya. Dari soal-soal yang dibuat siswa terdapat beberapa soal kontekstual yang cukup bagus. Soal tersebut kemudian dikerjakan oleh seluruh siswa di kelas dan dilakukan pembahasan, siswa yang membuat soalnya yang melakukan penilaian apakah jawaban temannya benar atau salah.


Pada pembelajaran satuan berat di kelas IVB SD Xaverius I Palembang, pembelajaran berjalan sesuai  dengan yang diharapkan. Hampir seluruh siswa dapat memahami konsep matematika terkait satuan berat. Alat ukur berat yang digunakan dalam observasi ini, yaitu timbangan berat badan dapat membantu meningkatkan pemahaman siswa bagaimana mengetahui satuan unit untuk berat serta dapat melakukan konversi satuan. Soal-soal yang diberikan juga dapat digunakan untuk mengukur pemahaman siswa mengenai satuan berat. Dari hasil observasi ini, siswa tidak hanya belajar menjawab soal menurut pemahaman mereka, tetapi juga mereka mampu menjelaskan jawaban mereka si depan kelas serta mampu membuat soal yang mereka juga mengetahui jawabannya untuk dijawab oleh temannya yang lain. Secara keseluruhan, alat ukur berat dan soal-soal yang diberikan dalam pembelajaran satuan berat  di kelas IVB SD Xaverius I Palembang dapat membantu pemahaman siswa tentang materi yang ada.

Memecahkan Masalah Perhitungan yang Berkaitan dengan Uang



Permasalahan terkait uang bagi siswa di kelas III SD telah menjadi bagian dari kehidupan sehari-hari mereka. Misalkan terkait penggunaan uang jajan sekolah serta berbagai aktivitas jual beli yang melibatkan uang. Dari hasil diskusi dengan guru kelas III SD Muhammadiyah I Palembang, siswa di kelas tersebut telah memiliki pemahaman yang cukup baik terkait penggunaan uang yang melibatkan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian atau pembagian. Untuk itu pada observasi kali ini, observer akan memberikan soal-soal assessment terkait masalah-masalah dalam kehidupan seharai-hari yang melibatkan uang.


Tujuan dari observasi ini adalah untuk memberikan soal-soal assessment terkait uang kepada siswa sebagai evaluasi bagaimana pemahaman siswa dalam mengaitkan permasalahan terkait uang dengan operasi hitung matematikannya.


Apakah soal-soal assessment yang diberikan dapat membantu siswa dalam memahami konsep operasi hitung Matematika dalam penyelesaian masalah terkait uang dalam kehidupan sehari-hari?


Pada awal pembelajaran materi terkait dengan uang, siswa ditanya tentang uang jajan yang mereka terima setiap harinya. Setiap siswa diperintahkan untuk menuliskan besarnya uang jajan mereka pada hari itu pada selembar kertas yang mereka miliki. Kemudian mereka diperintahkan untuk memperkirakan barang atau makanan apa saja yang bisa mereka beli dengan uang tersebut dengan menuliskan harga tiap barang atau makanan tersebut. Uang tersebut bisa dihabiskan seluruhnya atau disisakan. Jika disisakan, mereka harus menuliskan berapa sisanya. Dalam hal ini, seluruh siswa tidak mengalami kesulitan. Berikut ini gambar beberapa pengerjaan siswa tentang perkiraan apa yang dapat mereka beli dengan uang jajan yang mereka miliki.

Pertanyaan dikembangkan dengan meminta kepada mereka untuk membuat variasi jenis barang atau makanan yang lain yang bisa mereka beli. Dalam hal ini mereka juga bisa mengerjakannya dengan baik.

Selanjutnya, siswa diberikan soal-soal kontekstual terkait uang yang akan dijawab per individu. Selama mengerjakan soal, banyak dari siswa yang aktiv bertanya untuk meyakinkan apakah jawaban mereka benar atau salah. Sebagian besar mereka bisa menentukan hasil akhirnya dengan perhitungan yang mereka pahami dari penggunaan uang dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya Rp 3.000,00 ditambah Rp 700,00 adalah Rp 3.700,00. Mereka bisa menjawab ini dengan menghitung langsung dari berdasarkan pemahaman mereka tentang uang. Ada juga yang menghitungnya dengan jari. Akan tetapi ketika mereka diminta untuk menjumlahkannya dalam bentuk matematika seperti penjumlahan bersusun, banyak dari mereka yang tidak bisa. Berikut ini gambar soal dan hasil pengerjaan siswa.

Dari hasil jawaban siswa, terlihat bahwa rata-rata siswa telah mampu memahami soal yang berkaitan dengan uang. Mulai dari jenis mata uang, hingga perhitungan yang menuntut mereka untuk berfikir aktif dan kreatif dalam pembelanjaan uang. Seperti halnya pada soal terakhir, siswa diminta membuat daftar barang-barang yang bisa mereka beli dengan uang Rp.20.000,- berdasarkan daftar harga barang yang tersedia dalam kotak.

Untuk mengetahui pemahaman siswa terkait penjumlahan bersusun dari sejumlah nominal uang, siswa diminta untuk maju ke depan kelas untuk mengerjakan soal yang diberikan oleh guru. Sebagian mereka ada yang sudah bisa, sebagian yang lain belum. Bagi siswa yang belum mengerti mereka diberi beberapa penjelasan dari guru kelas dan observer.  Dari sini, bagi siswa yang tetap mengalami kesulitan dengan konsep penjumlahan bersusun pada operasi hitung matematika, mereka dapat menggunakan cara mereka sendiri bagaimana menyelesaikan masalah yang uang dengan mengaitkannya pada apa yang telah mereka pahami tentang penggunaan uang dalam jual beli. Berikut ini gambar siswa yang sedang berlatih penjumlahan bersusun di depan kelas.


Dari hasil observasi ini, dapat diketahui bahwa sebagian besar siswa mampu mengerjakan soal-soal yang berhubungan dengan uang dengan cara mengaitkannya dengan pemahaman mereka tentang uang yang mereka lakukan dalam kehidupan sehari-hari. Mereka juga bisa melakukan perhitungan uang dengan cepat melalui penggunaan jari atau perhitungan langsung dalam pemikiran mereka. Tetapi mereka masih kesulitan untuk mengerjaka soal yang berkaitan dengan penjumlahan dan pengurangan nominal uang dalam bentuk pengerjaan formal seperti penjumlahan atau pengurangan bersusun.

Operasi Hitung Campuran (II)



Observasi pada kesempatan kali ini adalah kelanjutan dari observasi pada minggu sebelumnya. Pada minggu sebelumnya operasi hitung campuran diajarkan dengan menggunakan media berupa kertas yang diberi gambar seperti lubang congklak serta sedotan yang dipotong-potong yang berfungsi sebagai bidak congklak. Berdasarkan hasil pada observasi pada minggu lalu, siswa dapat mengunakan media yang diberikan, akan tetapi kebanyakan dari mereka masih belum mampu mengaitkan antara aktivitas yang mereka lakukan dengan operasi hitung pada matematika dengan kata lain mereka masih sulit untuk menuliskan bentuk matematika dari apa yang mereka kerjakan. Beberapa kelompok yang bisa mengaitkan dengan konsep matematikanya juga masih kesulitan dalam menuliskannya pada lembar kerja, meskipun sebenarnya mereka memahami dan mengetahui proses memperoleh jawaban dari soal. Berdasarkan data tersebut, materi hitung campuran dilanjutkan kembali pada observasi kali ini. Media yang digunakan tetap menggunakan prinsip dasar permainan congklak, tetapi dikembangkan dengan mendesain alat peraga yang lebih menyerupai papan congklak. Adapun yang dijadikan sebagai bidak congklak adalah kerikil.


Untuk mengetahui apakah media yang menggunakan prinsip bermain congklak bisa membantu siswa dalam memahami operasi hitung campuran.


Apakah media yang digunakan pada observasi kali ini bisa membantu siswa dalam memahami konsep operasi hitung campuran?


Pada observasi ini, siswa diberikan soal-soal yang berisi permasalahan terkait operasi hitung campuran. Permasalahan yang diberikan berbeda dengan yang diberikan pada minggu sebelumnya. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, siswa dapat menggunakan bantuan alat peraga yang menyerupai congklak seperti pada gambar berikut ini.

Karena minggu sebelumnya siswa pernah belajar dengan bantuan media yang juga menggunakan prinsip dasar congklak, pada aktivitas minggu ini siswa lebih mudah menggunakan alat peraga yang ada. Alat peraga yang digunakan pada minggu ini juga lebih menarik siswa karena mirip dengan congklak yang sebenarnya. Berikut ini gambar lembar permasalahan yang diberikan kepada siswa serta jawaban dari beberapa kelompok yang ada.

Dari hasil penelitian pada kesempatan kali ini, salah satu permasalahan pada minggu sebelumnya juga masih ditemui pada minggu ini, yaitu siswa kesulitan dalam menuliskan apa yang telah mereka pahami dalam bentuk tulisan di lembar kerja. Akan tetapi, terdapat perkembangan pada pemahaman mereka tentang operasi hitung campuran yaitu kebanyakan dari mereka sudah bisa mengaitkan antara aktivitas yang mereka lakukan dengan konsep operasi hitung campuran. Juga masih ada beberapa kelompok yang kesulitan dalam menuliskan apa yang mereka pahami. Dalam hal ini guru dan pengobservasi membantu dengan memberikan pertanyaan-pertanyaan yang bisa mengarahkan siswa untuk bisa menuliskan bentuk matematika dari apa yang mereka lakukan dengan menggunakan congklak. Siswa di dalam kelompoknya bekerja sama dengan teman-temannya dalam mengerjakan soal. Selain itu, dari hasil pengamatan terlihat bahwa siswa bertukar ide dengan temannya bagaimana cara menjawab soal yang ada ke dalam bentuk matematika. Mereka telah mampu menuliskan penyelesaiannya dalam bentuk angka, walau ada beberapa kelompok yang keliru dalam penulisannya. Hal ini merupakan sebuah peningkatan dibandingkan dengan minggu sebelumnya. Sebagaimana pada minggu sebelumnya, beberapa kelompok dipanggil ke depan kelas untuk menjelaskan hasil jawaban mereka. Dari sini, siswa yang lain bisa membandingkan dengan hasil jawaban mereka dan jika ada yang memiliki jawaban berbeda diminta untuk menuliskan di papan tulis dan menjelaskan pula bagaimana mereka mendapatkannya. Setelah soal-soal dipresentasikan oleh beberapa orang siswa, pembelajaran di kelas dilanjutkan dengan pemberian soal-soal kontekstual terkait dengan permasalahan sehari-hari yang melibatkan operasi hitung campuran.


Congklak yang sudah dikenal oleh sebagian besar siswa dapat digunakan sebagain media dalam menanamkan konsep tentang operasi hitung campuran. Hal ini karena dalam permainan congklak terdapat aktivitas yang melibatkan pengambilan (melibatkan operasi pengurtangan) dan penambahan (melibatkan operasi penjumlahan) bidak congklak pada papan congklak. Selain itu juga ada kaitannya dengan perkalian dan pembagian yaitu pada saat siswa harus mengisikan sejumlah bidak congklak pada papan congklak dan menghitung banyaknya bidak congklak yang ada pada papan congklak. Kesulitan yang masih dialami beberapa siswa adalah dalam hal menuliskan bentuk matematika dari aktivitas yang mereka lakukan. Akan tetapi mereka memahami operasi hitung apa yang telah mereka lakukan dan mereka bisa menjelaskannya secara lisan.